8.1. Pemodelan Sistem Bola Balok

8.1.1. Sistem Bola Balok

Sebagaimana pada gambar di bawah, sebuah bola ditempatkan pada balok yang mana bola dapat menggelinding sepanjang balok. Sebuah batang tuas (lever arm) dipasangkan pada balok dan dihubungkan dengan sebuah gir servo. Saat gir servo berputar dengan sudut $\theta$, tuas akan mengubah sudut balok sebesar $\alpha$. Saat sudut berubah lebih miring dari posisi horisontal awal, maka bola akan menggelinding sepanjang balok. Sebuah pengendali akand irancang untuk sistem ini untuk mengatur posisi bola di sepanjang balok.

ball-beam

8.1.2. Persamaan Sistem

Persamaan Lagrange untuk gerakan bola pada balok dinyatakan dengan:

\(0 = \left(\frac{J}{R^2}+m\right) \ddot{r} + m g \sin{\alpha} - m r \dot{\alpha}^2\) (1)

dengan $r$ adalah koordinat posisi bola pada balok, $R$ adalah radius bola, $J$ adalah momen inersia bola, $m$ adalah massa bola, dan $g$ adalah percepatan gravitasi.

Dengan melakukan linearisasi pada persamaan tersebut pada sudut balok $\alpha = 0$, aproksimasi persamaan linear sistem adalah:

\(\left(\frac{J}{R^2}+m\right) \ddot{r} = - m g \alpha\) (2)

Persamaan yang menghubungkan dengan sudut balok dengan sudut gir dapat didekati dengan persamaan linear sebagai berikut:

\(\alpha = \frac{d}{L}\theta\) (3)

dengan $d$ adalah offset lengan tuas, $L$ adalah panjang balok dan $\theta$ adalah sudut gir servo.

Dengan melakukan subtitusi ke persamaan sebelumnya, kita mendapatkan:

\(\left(\frac{J}{R^2}+m\right) \ddot{r} = - m g \frac{d}{L} \theta\) (4)

Pada persamaan di atas, sebenarnya turunan kedua dari $\alpha$ berkait dengan turunan kedua dari $r$. Akan tetapi untuk menyederhanakan persamaan sistem, hal tersebut diabaikan. Demikian pula kita mengasumsikan bahwa bola menggelinding tanpa mengalami selip (tergelincir) dan tanpa mengalami friksi dengan balok.

Parameter Sistem

  • (m) massa bola: 0.11 kg
  • (R) radius bola: 0.015 m
  • (d) offset lengan tuas: 0.03 m
  • (g) percepatan gravitasi: 9.8 m/s^2
  • (L) panjang balok: 1.0 m
  • (J) momen inersia bola: 9.99e-6 kg.m^2
  • (r) koordinat posisi bola
  • (α) koordinat sudut bola
  • (θ) sudut gir servo

8.1.3. Fungsi Alih dan State Space Sistem

Fungsi alih sistem kendaraan dengan masukan sudut gir $\Theta(s)$ dan keluaran posisi bola $R(s)$ adalah …

State space system dengan state vector $\left[{\begin{array}{c} r \ \dot{r} \end{array}}\right]$, input $\theta$ dan output $r$ adalah …